วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)
1. วิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
หมายถึง การนำสิ่งของที่มีลักษณะที่แตกต่างกันทั้งหมดมาจัดเรียงสับเปลี่ยน โดยถือตำแหน่งหรือลำดับก่อนหลังเป็นสำคัญ แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ
1) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน (แต่ไม่เป็นวงกลม) เท่ากับ n! วิธี
2) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n) เท่ากับ n! / (n-r)! วิธี
* เขียนแทนด้วย P(n, r) = n! / (n-r)!
จาก P(n, r) = n! / (n-r)!
= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1) . (n-r)! / (n-r)!
= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1)
3) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม เท่ากับ (n-1)! วิธี และมีหลักการจัดเรียง โดยแบ่งตามเงื่อนไขได้ดังนี้
3.1 การจัดสิ่งของ n สิ่ง วึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยไม่มีเงื่อนไข จะจัดได้เท่ากับ (n-1)! วิธี
3.2 การสร้างจุดอ้างอิงบนวงกลมก่อน แล้วแทรกเข้าไป วนเป็นวงกลม โดยที่รู้ว่ามีจุดอ้างอิงก่อนแล้ว
3.3 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยที่มีเงื่อนไขการสับที่ แล้วแทรกอีกฝ่ายหนึ่งเข้าในฝ่ายแรก โดยต้องรู้ว่าการแทรกครั้งนี้มีจุดอ้างอิงแล้ว
3.4 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลม โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n) เท่ากับ n! / (n-r)! . r! วิธี
* เขียนแทนด้วย [P(n, r)] / r = n! / (n-r)! . r!
3.5 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลมแบบมองได้ 2 ด้าน (แบบสามมิติ)
3.6 การจัดสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่างกันทั้งหมดในแนววงกลมแบบมองได้ 2 ด้าน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n)
* เขียนแทนด้วย [P(n, r)] / 2r = n! / (n-r)! . 2r!
ตัวอย่างที่ 1 จะสร้างเลข 4 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4 ได้กี่จำนวน
วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 1
จะได้ว่า จะสร้างตัวเลข 4 หลัก ได้ = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
ดังนั้น จะสร้างตัวเลข 4 หลัก ได้ 24 จำนวน
ตัวอย่างที่ 2 จะสร้างเลข 2 หลัก จากตัวเลข 1, 2, 3, 4, 5 ได้กี่จำนวน
วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 2
จะได้ว่า จะสร้างตัวเลข 2 หลัก ได้ = P(5,2) = 5! / (5-2)! = 5! / 3! = 5 . 4 = 20
ดังนั้น จะสร้างตัวเลข 2 หลัก ได้ 20 จำนวน
ตัวอย่างที่ 3 เลือกนักเรียน 3 คน จากนักเรียนทั้งหมด 20 คน มาเป็นหัวหน้าห้อง รองหัวหน้าห้อง และเลขานุการ ได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 2
จะได้ว่า จะได้วิธีที่เลือก = P(20,3) = 20! / (20-3)! = 20! / 17! = 20 . 19 . 18 = 6840
ดังนั้น จำนวนวิธีที่เลือก คือ 6840 วิธี
ตัวอย่างที่ 4 จัดเด็ก 1 คน หญิง 3 คน และผู้ชาย 3 คน นั่งรอบโต๊ะกลม โดยที่ผู้ชายไม่นั่งติดกับเด็ก จะจัดได้กี่วิธี
วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 3.2 ซึ่งผู้ชายไม่นั่งติดกับเด็ก แสดงว่าด้านซ้ายและด้านขวาของเด็กจะต้องถูกประกบด้วยผู้หญิง
ขั้นที่ 1 นำเด็กมาวนเป็นหลักก่อน จะสามารถทำได้ (1-1)! = 0! = 1 วิธี
ขั้นที่ 2 นำผู้หญิงมาประกบด้านซ้ายและด้านขวาของเด็ก จะมำได้ P(3,2) = 3! / (3-2)! = 3 . 2 = 6 วิธี
ขั้นที่ 3 นำผู้ชาย 3 คน กับผู้หญิง 1 คนที่เหลือ มาจัด จะทำได้ 4! = 4 . 3 . 2 . 1 =24 วิธี
ฉะนั้น จำนวนวิธีที่จัดได้ทั้งหมด คือ 1 . 6 . 24 = 144 วิธี
ดังนั้น จัดได้ทั้งหมด 144 วิธี
ตัวอย่างที่ 5 มีวิธีการจัดคน 9 คน ให้นั่งรับประทานอาหารรอบโต๊ะกลม ซึ่งมีทั้งหมด 9 ที่นั่ง ได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 3.1
จำนวนวิธีที่สามารถจัดได้ คือ (7-1)! = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีที่จัดได้ = 720 วิธี
ตัวอย่างที่ 6 ชาย 8 คน หญิง 8 คน ต้องการยืนล้อมเป็นวงกลม จะจัดได้กี่วิธี ถ้า
(a) ชาย-หญิง สลับกันทีละ 2 คน
(b) ชาย-หญิง สลับกันทีละ 4 คน
(c) ชายติดกันหมดและหญิงติดกันหมด
วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 3.3
(a) ชาย-หญิง สลับกันทีละ 2 คน
ขั้นที่ 1 ให้ชายยืนล้อมเป็นวงกลมก่อน ทำได้ (8-1)! = 7! วิธี
ขั้นที่ 2 เลือกว่าจะให้หญิงเข้าแทรกชายอย่างไร จะทำได้ 2 วิธี
ขั้นที่ 3 ให้หญิง 8 คน ยืนในที่ 8 ที่ ที่ได้จากการเลือกในขั้นที่ 2 จะทำได้ 8! วิธี
ดังนั้น จะยืนได้เท่ากับ 7! . 2 . 8! วิธี
(b) ชาย-หญิง สลับกันทีละ 4 คน
ขั้นที่ 1 ให้ชายยืนล้อมเป็นวงกลมก่อน ทำได้ (8-1)! = 7! วิธี
ขั้นที่ 2 เลือกว่าจะให้หญิงเข้าแทรกชายอย่างไร จะทำได้ 4 วิธี
ขั้นที่ 3 ให้หญิง 8 คน ยืนในที่ 8 ที่ ที่ได้จากการเลือกในขั้นที่ 2 จะทำได้ 8! วิธี
ดังนั้น จะยืนได้เท่ากับ 7! . 4 . 8! วิธี
(c) ชายติดกันหมดและหญิงติดกันหมด
ขั้นที่ 1 ให้ชายยืนติดกันทั้งหมด ทำได้ 8! วิธี
ขั้นที่ 2 ให้หญิงยืนติดกันทั้งหมด ทำได้ 8! วิธี
ขั้นที่ 3 นำชาย 8 คน และหญิง 8 คน ที่ยืนติดกันมาล้อมเป็นวงกลม ทำได้ (2-1)! = 1 วิธี
ดังนั้น จะยืนได้เท่ากับ 8! . 8! . 1 = 8! . 8! วิธี
ตัวอย่างที่ 7 มีขนมอยู่ 7 กล่อง โดยแต่ละกล่องมีแตกต่างกันหมด ถ้านำมาเรียงในกลองแก้ววงกลม ได้ทั้งหมดกี่วิธี
วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 3.5 คือสามารถมองได้ 2 ด้าน
จำนวนวิธีที่สามารถจัดได้ คือ (7-1)! / 2 = 6! / 2 = [6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1] / 2 = 360 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีที่จัดได้ = 360 วิธี
ตัวอย่างที่ 8 มีคน 12 คน และมีเก้าอี้ 7 ตัว จัดเป็นวงกลม จงหาจำนวนวิธีที่แตกต่างกันทั้งหมดในการจัดคนนั่งเก้าอี้ทั้ง 7 ตัว
วิธีทำ จากโจทย์ ตรงตามข้อที่ 3.4
จำนวนวิธีที่สามารถจัดคนนั่งเก้าอี้ได้ คือ 12! / (12-7)! . 7! = 12! / 5! . 7! = 570,240 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีที่จัดได้ = 570,240 วิธี
ตัวอย่างที่ 8 จงหาจำนวนวิธีที่จะจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่มแบ่งไปทำงาน 3 งานที่แตกต่างกัน โดยจัดกลุ่มละกี่คนก็ได้
วิธีทำ ตรงตามข้อ 1 ลองแจกแจงรูปแบบของการจัดกลุ่มทั้งหมด โดยการแยกเป็นกรณีย่อยตามโจทย์ได้ 10 แบบ ดังนี้
123, 132, 213, 231, 312, 321, 114, 141, 411, 222
กรณี 1 พบว่า 6 แบบแรก เป็นการจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 1, 2 และ 3
แสดงว่า 6 แบบแรกจะมีวิธีการแบ่งเท่ากับ 6! / 1! . 2! . 3! = 60 วิธี
กรณี 2 พบว่า แบบที่ 7-9 เป็นการจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 1, 1 และ 4
แสดงว่า แบบที่ 7-9 จะมีวิธีการแบ่งเท่ากับ 6! / 1! . 1! . 4! = 30 วิธี
กรณี 3 พบว่า แบบที่ 10 เป็นการจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่ม กลุ่มละ 2, 2 และ 2
แสดงว่า แบบที่ 10 จะมีวิธีการแบ่งเท่ากับ 6! / 2! . 2! . 2! = 90 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะจัดพนักงาน 6 คน เป็น 3 กลุ่มเท่ากับ 6(60) + 3(30) + (1)90 = 540 วิธี
ตัวอย่างที่ 9 ตัวอักษรทั้งหมด 15 ตัว มี A, B, C, D, E อย่างละ 3 ตัว จะมีจำนวนวิธีในการสร้างคำที่มีความยาว 4 ตัวอักษรจากอักษรทั้งหมด 15 ตัวนี้ ได้คำที่แตกต่างกันกี่วิธี
วิธีทำ ตรงตามข้อ 2
จากโจทย์ จะได้ AAA, BBB, CCC, DDD, EEE
การสร้างคำที่มีความยาว 4 ตัวอักษร จากอักษรทั้งหมด 15 ตัว แยกเป็นกรณี้ ได้ดังนี้
กรณี 1 มีอักษรซ้ำกัน 3 ตัว
ขั้นที่ 1 เลือกอักษร 3 ตัว ที่ซ้ำกัน ซึ่งสามารถเลือกได้จากทุกตัวอักษร ทำได้ 5 วิธี
ขั้นที่ 2 เลือกตัวอักษร 1 ตัว จากอักษร 4 ชนิดที่เหลือ ทำได้ 4 วิธี
ขั้นที่ 3 นำตัวอักษรทั้ง 4 ตัวที่เลือกไว้แล้ว มาจัดเรียง จะได้ 4! / 3! = 4 วิธี
แสดงว่า กรณีนี้ สามารถจัดเรียงได้ 5 . 4 . 4 = 80 วิธี
กรณี 2 มีอักษรซ้ำกัน 2 ตัว และอีก 2 ตัวที่เหลือ ต่างชนิดกัน
ขั้นที่ 1 เลือกอักษร 2 ตัว ที่ซ้ำกัน ซึ่งสามารถเลือกได้จากทุกตัวอักษร ทำได้ 5 วิธี (ได้แก่ AA BB CC DD EE)
ขั้นที่ 2 เลือกตัวอักษร 2 ตัวไม่ซ้ำกัน จากอักษร 4 ชนิดที่เหลือ ทำได้ 4! / 2! . 2! = 6 วิธี
ขั้นที่ 3 นำตัวอักษรทั้ง 4 ตัวที่เลือกไว้แล้ว มาจัดเรียง จะได้ 4! / 2! = 12 วิธี
แสดงว่า กรณีนี้ สามารถจัดเรียงได้ 5 . 6 . 12 = 360 วิธี
กรณี 3 มีอักษรซ้ำกัน 2 ตัว 2 คู่
ขั้นที่ 1 เลือกอักษร 2 ตัว ที่ซ้ำกัน คู่แรก ทำได้ 10 วิธี
ขั้นที่ 2 นำตัวอักษรทั้ง 4 ตัวที่เลือกไว้แล้ว มาจัดเรียง จะได้ 4! / 2! . 2! = 6 วิธี
แสดงว่า กรณีนี้ สามารถจัดเรียงได้ 5 . 6 = 60 วิธี
กรณี 4 มีอักษร 4 ชนิด ชนิดละ 1 ตัว
ขั้นที่ 1 เลือกอักษร 4 ชนิดจากอักษร 5 ชนิด ทำได้ 5! / 4! . 1! = 5 วิธี
ขั้นที่ 2 นำตัวอักษรทั้ง 4 ตัวที่เลือกไว้แล้ว มาจัดเรียง จะได้ 4! = 24 วิธี
แสดงว่า กรณีนี้ สามารถจัดเรียงได้ 5. 24 = 120 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธีทั้งหมด คือ 80 + 360 + 60 + 120 = 620 วิธี
แบบทดสอบท้ายบท เรื่อง วิธีเรียงสับเปลี่ยน
1. จงหาว่ามีเลขกี่จำนวนที่มากกว่า 3,000,000 ที่ได้จากการนำบัตรตัวเลข 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 มาสร้าง จงหาว่ามีเลขกี่จำนวนที่มากกว่า 3,000,000 ที่ได้จากการนำบัตรตัวเลข 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 มาสร้าง จงหาว่ามีเลขกี่จำนวนที่มากกว่า 3,000,000 ที่ได้จากการนำบัตรตัวเลข 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 มาสร้าง
เฉลย
หลักล้านสร้างได้ 2! / 2! = 1 วิธี ( ใช้เลข 3 เท่านั้น ซึ่งเลข 3 ทั้ง 2 ตัวไม่แตกต่างกัน )
หลังจากสร้างหลักล้าน เหลือเลข 1 จำนวน 3 ตัว เลข 2 จำนวน 2 ตัว และเลข 3 จำนวน 1 ตัว
สร้างหลักที่เหลือ่ได้ 6! / ( 3! 2! ) = 60 วิธี
ดังนั้น สร้างจำนวนที่มากกว่า 3,000,000 ได้ 1 x 60 = 60 จำนวน
2.ต้นเบญจมาส 4 ต้นต่างกัน ต้นพวงทอง 3 ต้นต่างกัน และต้นดาวเรือง 2 ต้นต่างกัน นำมาปลูกรายรอบเป็นวงกลมโดยต้นพวงทองทุกต้นปลูกแยกจากกัน จะปลูกได้กี่วิธี
เฉลย
เรียงต้นเบญจมาส 4 ต้น และต้นดาวเรือง 2 ต้น เป็นวงกลม ได้ 5! วิธี
แทรกต้นพวงทอง 3 ต้น ระหว่างต้นเบญจมาสและต้นดาวเรืองที่วางในตอนแรก ( มี 6 ที่ ) ได้ 6 x 5 x 4 วิธี
ดังนั้น ปลูกได้ 5! x 6 x 5 x 4 = 14,400 วิธี
game8milk12 