1. กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

             ในชีวิตประจำวันเรามักจะพบปัญหาเกี่ยวกับการนับจำนวนวิธีทั้งหมดที่เหตุการณ์อย่างใดอย่างหนึ่งจะเป็นไปได้ หรือจำนวนวิธี ในการจัดชุดของสิ่งต่าง ๆ เช่น การจัดการแข่งขันกีฬา การจัดชุดเสื้อผ้า การจัดชุดอาหาร เป็นต้น การคำนวณเพื่อหาคำตอบสำหรับปัญหาประเภทต่าง ๆ ดังกล่าว จะทำได้ง่ายและสะดวกรวดเร็วขึ้นถ้าเข้าใจกฎเกณฑ์บางข้อซึ่งเรียกว่า หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ

ตัวอย่าง    นายดำมีเสื้อ 2 ตัว สีต่างกัน และกางเกง 3 ตัว สีต่างกัน จงหาจำนวนวิธีทั้งหมดที่นายดำสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กัน
             วิธีคิด    นายดำมีวิธีเลือกสวมเสื้อได้ 2 วิธี
                                         เลือกสวมกางเกงได้ 3 วิธี
             ดังนั้น     นายดำมีวิธีสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กันได้ (2)(3) = 6 วิธี
อาจใช้แผนภาพต้นไม้ในการหาคำตอบได้ดังนี้

จากแผนภาพต้นไม้ จะได้ว่าจำนวนวิธีทั้งหมดที่นายดำเลือกสวมเสื้อและกางเกงเป็นชุดต่าง ๆ กันเท่ากับ 6 วิธี

หลักการนับและหลักการบวก

ถ้าการทำงานหนึ่งมีวิธีการทำงาน k วิธี คือ วิธีที่ 1 ถึงวิธีที่ k โดยที่

การทำงานวิธีที่ 1 มีวิธีทำ n1 วิธี

การทำงานวิธีที่ 2 มีวิธีทำ n2 วิธี

: :การทำงานวิธีที่ k มีวิธีทำ nk วิธีและวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้วจำนวนวิธีทำงานนี้เท่ากับ n1+n2+…+nk วิธี

ตัวอย่าง     นักเรียน 3 คนต้องการเข้าและออกห้องห้องหนึ่งซึ่งมีประตู 3 บาน โดยนักเรียนคนที่ 1 เข้าและออกโดยใช้ประตูบานเดียว นักเรียนคนที่ 2 เข้าและออกโดยไม่ใช้ประตูบานเดิม และนักเรียนคนที่ 3 เข้าและออกโดยใช้ประตูบานใดก็ได้ จงหาจำนวนวิธีที่นักเรียนทั้ง 3 คนเข้าและออกห้องนี้

     วิธีทำ   นักเรียนคนที่ 1 มีวิธีเข้าและออกได้ 3 วิธี

                นักเรียนคนที่ 2 มีวิธีเข้าและออกได้ 6 วิธี

                 นักเรียนคนที่ 3 มีวิธีเข้าและออกได้ 9 วิธี

    ดังนั้น  วิธีที่นักเรียนทั้ง 3 คนเข้าและออกห้องนี้มีทั้งหมด 3+6+9 = 18 วิธี

หลักการคูณ

ถ้าการทำงานอย่างหนึ่งประกอบด้วยการทำงาน k ขั้นตอน คือ ขั้นตอนที่ 1 ถึงขั้นตอนที่ k ตามลำดับ โดยที่

การทำงานขั้นตอนที่ 1 มีวิธีทำ n1 วิธี

การทำงานขั้นตอนที่ 2 มีวิธีทำ n2 วิธี

การทำงานขั้นตอนที่ 3 มีวิธีทำ n3 วิธี

: :การทำงานขั้นตอนที่ k มีวิธีทำ nk วิธีและวิธีการทำงานแต่ละวิธีแตกต่างกัน แล้วจำนวนวิธีการทำงานนี้เท่ากับ n1n2n3…nk วิธี

ตัวอย่าง    บริษัทผลิตเสื้อผ้าสำเร็จรูปแห่งหนึ่งผลิตเสื้อ 6 แบบ กางเกง 5 แบบและเนคไท 4 แบบ ถ้าจะจัดแต่งตัวให้กับหุ่นเพื่อนำไปโชว์หน้าร้าน จะสามารถแต่งเป็นชุดต่างๆกันได้กี่ชุด

               วิธีทำ  ในการแต่งตัวให้กับหุ่นมี 3 ขั้นตอน คือ

                          ขั้นตอนที่ 1 เลือกเสื้อได้ 6 วิธี

                          ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงได้ 5 วิธี

                          ขั้นตอนที่ 3 เลือกเนคไทได้ 4 วิธี

                 ดังนั้น วิธีการแต่งตัวให้กับหุ่นทำได้ทั้งหมด 6×5×4 = 120 วิธี

แบบทดสอบ เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

1. บริษัทแห่งหนึ่งมีตำแหน่งว่างสำหรับพนักงานใหม่ดังนี้ พนักงานขายของ 10 ตำแหน่ง พนักงานขับรถ 10 ตำแหน่ง

พนักงานส่งของ 10 ตำแหน่ง แต่มีคนมาสมัครเพียง 5 คนเท่านั้น ซึ่งผู้จัดการบริษัทก็รับเข้าทำงานทุกคน

จงหาว่าผู้จัดการจะบรรจุพนักงานทั้ง 5 คนเข้าทำงานในตำแหน่งต่างๆ ได้กี่วิธี ?

 เฉลย

เนื่องจากบริษัทต้องการรับสมัครพนังงานในตำแหน่งงาน  3  ประเภท  คือ   พนักงานขาย  พนักงานขับรถ  และพนักงานส่งของ

ผู้สมัครคนที่       1             2            3            4            5

บรรจุได้             3      x     3      x    3     x     3    x      3   =   3 ⁵  =  243  วิธี

2. จากตัวเลขในเซต { 0 , 1 , 2 , 6 , 7 , 8 , 9 } นำมาสร้างเป็นจำนวนคี่ 3 หลัก

ที่ใช้ตัวเลขไม่ซ้ำกันเลยจะสร้างได้กี่จำนวน ?

เฉลย

สร้างหลักหน่วยได้           3     วิธี         ( 1  ,  7  ,  9  )

สร้างหลักร้อยได้             5     วิธี         ( เลขที่เหลือจากการสร้างหลักหน่วย  ไม่รวม 0 )

สร้างหลักสิบได้              5     วิธี         ( เลขที่เหลือจากการสร้างหลักหน่วยและหลักสิบ )

ดังนั้น  สร้างจำนวนได้่   3 x 5 x 5  =  75  วิธี